Question

(25分)已知(x+)(y+)=1.求证:x+y=0.

Answer 1

用反证法证明.
(1)先证x=0时y=0，或y=0时x=0.如若不然，假设x=0时，y>0.则
(x+)(y+)= (y+1)>1，与已知矛盾.
当x=0，y<0时，又有
(x+)(y+)=  (y+1)<  (1+y)=(1-y)(1+y)=1-y²<1，
与已知矛盾.
故x=0时，y="0." 同理，y=0时，x=0.
(2)再证x≠0，y≠0时，x+y=0.为此先证xy<0.
如若不然，则x>0，y>0或x<0，y<0.
当x>0，y>0时，(x+)(y+)>1，与已知矛盾.
当x<0，y<0时，(x+)(y+)=
=≤
.但(-x>1，-y>1，则<1，
与已知矛盾.从而，xy<0.
以下分两种情形讨论.
(i)若x+y>0，由于原式关于x、y对称，不妨设x>0，y<0.则x>-y，x2>y2，
有(x+)(y+)>( -y)( +y)=1，与已知矛盾.
同理，当x<0，y>0时，也与已知矛盾.
(ii)若x+y<0，不妨设x>0，y<0.
则x<-y，x²<y²，有(x+)(y+)<(-y)( +y)=1，
与已知矛盾.
由(i)、(ii)知，x+y>0和x+y<0均不成立.
因此，x+y=0.
综上知x+y=0.

略