题目内容
(2003•安徽)附加题:
如图,在五边形A
1A
2A
3A
4A
5中,B
1是A
1对边A
3A
4的中点,连接A
1B
1,我们称A
1B
1是这个五边形的一条中对线.如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分.求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行.
【答案】
分析:可以再做五边形的一条中对线,根据它们分割成的两部分的面积相等,都是五边形的面积的一半,导出两个等底的三角形的面积相等,从而得到它们的高相等,则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行.
解答:证明:取A
1A
5中点B
3,连接A
3B
3、A
1A
3、A
1A
4、A
3A
5,

∵A
3B
1=B
1A
4,
∴S
△A1A3B1=S
△A1B1A4,
又∵四边形A
1A
2A
3B
1与四边形A
1B
1A
4A
5的面积相等,
∴S
△A1A2A3=S
△A1A4A5,
同理S
△A1A2A3=S
△A3A4A5,
∴S
△A1A4A5=S
△A3A4A5,
∴△A
3A
4A
5与△A
1A
4A
5边A
4A
5上的高相等,
∴A
1A
3∥A
4A
5,
同理可证A
1A
2∥A
3A
5,A
2A
3∥A
1A
4,A
3A
4∥A
2A
5,A
5A
1∥A
2A
4.
点评:此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等,从而证明两条直线平行.
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