Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）设四边形APQC的面积为ycm²，写出y关于t的函数关系式及定义域；
（3）分别以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P与⊙Q相切，求t的值；
（4）在P、Q运动中，△BPQ与△ABC能否相似？若能，请求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=BC=3．
又∵PQ⊥AB，
∴cos∠B=．
∴．
∴t=．

（2）过P作PM⊥BC，垂足为M，
∵PM⊥BCAH⊥BC，
∴PM∥AH．
∴．
∴．
∴PM=．
∴S_△PBQ=．
∴．
∴定义域：0＜t＜5．

（3）∵PA=BQ=t，
∴两圆只能外切．
过Q作QN⊥AB，垂足为N，
∵sin∠B==，
在Rt△BNQ中，
∴QN=，BN=，PN=．
又∵∠PNQ=90°，
∴．
∴t=-10+；

（4）能，有二种情况：
①∵△BPQ∽△BAC，
∴．
∴．
∴t=．
②∵△BPQ∽△BCA，
∴．
∴．
∴t=．
∴当t=或t=秒时，两个三角形相似．
分析：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，根据三角函数cos∠B得出等量关系，求出t的值；
（2）等量关系S_{四边形APQC=}S_△ABC-S_△BPQ得出y关于t的函数关系式及定义域；
（3）以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P与⊙Q相切，两圆只能外切，根据圆与圆的外切位置关系，求t的值；
（4）△BPQ与△ABC相似，∠B公共，∠A=∠BPQ，或∠A=∠BQP，得出AP的长．
点评：本题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，是一个探究性性的题目，一定要分析各种情况，不要落漏．