题目内容
【题目】A为⊙C上一点,过点A作弦AB,取弦AB上一点P,若满足≤
<1,则称P为点A关于⊙C的黄金点.已知⊙C的半径为3,点A的坐标为(1,0).
(1)当点C的坐标为(4,0)时,
①在点D(3,0),E(4,1),F(7,0)中,点A关于⊙C的黄金点是 ;
②直线上存在点A关于⊙C的黄金点P,求点P的横坐标的取值范围;
(2)若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点,直接写出点C横坐标的取值范围.
【答案】(1)①D(3,0),E(4, 1);②≤x<
;(2)-2≤x<3.
【解析】
(1)①如图1,根据题意画出图形,由图结合已知条件分析即可得出结论;
②根据题意画出符合要求的图形如图2所示,设直线与以(2,0)为圆心,1为半径的圆交于点P1,与⊙C交于点P2 .则易得
,
,由此可知,求出点P1和P2的横坐标即可得到所求答案了;
(2)由⊙C的半径为3可知点C在以点A为圆心,3为半径的圆上,由y轴上存在点A关于⊙C的黄金点可知,点C到y轴的距离不能超过3,由此画出符合题意的图3,根据图3即可求得点C的横坐标的取值范围了.
(1)①如图1,过点C作CP⊥AB于点P,
∴AP=AB,
∵AE>AP,AE<AB,
∴,
∴点E是点A关于⊙C的黄金点;
∵点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(3,0),点F的坐标为(7,0),
∴可得AF=6,AD=2,
∴,
,
∴点D是点A关于⊙C的黄金点,点F不是点A关于⊙C的黄金点;
∴D、E、F三点中点D和点E是点A关于⊙C的黄金点;
②∵在直线中,当x=1时,y=0,
∴直线过A(1,0),且与x轴正方向夹角为30°,
如图时所示:设直线与以(2,0)为圆心,1为半径的圆交于点P1,与⊙C交于点P2 ,连接P1N,过P1作P1N⊥x轴于点E,
则∠AP1N=90°,AN=2,∠NAP1=30°,
∴AP1=AN·cos30°=,
∴AE=AP1·cos30°=,
∴OE=OA+AE=,
∴P1=
,
同理可得:P2=
.
∴≤x<
.
(2)如图3所示:
∵点A的坐标为(1,0),⊙C的的半径为3,且点A在⊙C上,
∴点C只能在以点A为圆心,3为半径的圆上,
又∵在y轴上存在点A关于⊙C的的黄金点,
∴⊙C和y轴有公共点,
又∵⊙C的半径为3,
∴点C只能在直线x=3和直线x=-3之间(包括两条直线上),
∴如下图所示,点C的横坐标的取值范围是-2≤x<3.

【题目】今年1月25日,上海地区下了一场大雪.这天早上王大爷去买菜,他先去了超市,发现蔬菜普遍涨价了,青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表.王大爷觉得超市的菜不够新鲜,所以他又去了菜市场,他花了30元买了一些新鲜菠菜,他跟卖菜阿姨说:“你今天的菠菜比昨天涨了5元/斤。”卖菜阿姨说:“下雪天从地里弄菜不容易啊,所以你花这些钱要比昨天少买1斤了。”王大爷回答道:“应该的,你们也真的辛苦。”
青菜 | 花菜 | 大白菜 | |
1月24日 | 2元/斤 | 5元/斤 | 1元/斤 |
1月25日 | 2.5元/斤 | 7元/斤 | 1.5元/斤 |
(1)请问超市三种蔬菜中哪种涨幅最大?并计算其涨幅;
(2)请你根据王大爷和卖菜阿姨的对话,来算算,这天王大爷买了几斤菠菜?