题目内容

【题目】A为⊙C上一点,过点A作弦AB取弦AB上一点P若满足<1,则称P为点A关于⊙C的黄金点.已知⊙C的半径为3,A的坐标为(1,0).

(1)当点C的坐标为(4,0)时,

①在点D(3,0),E(4,1),F(7,0)中,点A关于⊙C的黄金点是

②直线上存在点A关于⊙C的黄金点P,求点P的横坐标的取值范围;

(2)y轴上存在A关于⊙C的黄金点,直接写出点C横坐标的取值范围.

【答案】(1)①D(3,0),E(4, 1);②x;(2)-2≤x<3.

【解析】

(1)①如图1,根据题意画出图形,由图结合已知条件分析即可得出结论;

根据题意画出符合要求的图形如图2所示,设直线与以(2,0)为圆心,1为半径的圆交于点P1,与C交于点P2 .则易得由此可知求出点P1P2的横坐标即可得到所求答案了;

(2)由C的半径为3可知点C在以点A为圆心,3为半径的圆上,由y轴上存在点A关于C的黄金点可知,点Cy轴的距离不能超过3,由此画出符合题意的图3,根据图3即可求得点C的横坐标的取值范围了.

(1)①如图1,过点CCP⊥AB于点P,

∴AP=AB,

∵AE>AP,AE<AB,

E是点A关于C的黄金点

A的坐标为(1,0),点D的坐标为(3,0),点F的坐标为(7,0),

可得AF=6,AD=2,

D是点A关于C的黄金点F不是点A关于C的黄金点

∴D、E、F三点中点D和点E是点A关于C的黄金点

②∵在直线x=1时,y=0,

∴直线A(1,0),且与x轴正方向夹角为30°,

如图时所示设直线与以(2,0)为圆心,1为半径的圆交于点P1,与C交于点P2 ,连接P1N,过P1P1N⊥x轴于点E,

∠AP1N=90°,AN=2,∠NAP1=30°,

∴AP1=AN·cos30°=

∴AE=AP1·cos30°=

∴OE=OA+AE=

P1=

同理可得P2=.

x.

(2)如图3所示:

A的坐标为(1,0),⊙C的的半径为3,且点AC上,

C只能在以点A为圆心,3为半径的圆上,

y轴上存在点A关于C的的黄金点,

∴⊙Cy轴有公共点

∵⊙C的半径为3,

C只能在直线x=3和直线x=-3之间(包括两条直线上),

如下图所示C的横坐标的取值范围是-2≤x<3.

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