Question

如图所示，点是⊙上一点，⊙与⊙相交于、两点，，垂足为，分别交⊙、⊙于、两点，延长交⊙于，交的延长线于，交于，连结．
【小题1】求证：；
【小题2】若，求证：；
【小题3】 若，且线段、的长是关于的方程的两个实数根，求、的长．

Answer 1

【小题1】∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分别为⊙O₁、⊙O₂的直径．                       
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C．                                       
【小题2】∵∠DO₂C=45°，∴∠ABD=45°
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=（180°-∠DO₂C）=67.5°，                   
∴∠4=22.5°，·                                           
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．                                 
【小题3】∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k．
连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC，
∴ ∴AE·BF=BD·AF．
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO₂=DO₂
∠AO₂E=∠DO₂C， O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，∴AE=CD=k，
∴6k²=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，∴BC=AB．
∴6k²=（BC-k）（6k-BC）．∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k或BC=4k．                                 
当BC=3k，BD=2k．
∵BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．
整理，得：4m²-12m+29=0．
∵△=（-12）²-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．
∴BC=3k（舍）．                                         
当BC=4k时，BD=3k．
∴3k+6k=4m+2，18k²=4m²+8，整理，
得：m²-8m+16=0，
解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化为x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12， ∴BD=6，BF=12．

解析