Question

如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线与轴交点的坐标；
（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）与相似．
理由如下：

由折叠知，，
，
又，
．
（2），设，
则．
由勾股定理得．
．
由（1），得，
，
．
在中，，
，解得．
，点的坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
解得
，则点的坐标为．
（3）满足条件的直线有2条：，
．
如图2：准确画出两条直线．

（1）由折叠知，，根据同角的余角相等可得，再有
即可得到与相似；
（2）），设，则，由勾股定理得，
，由（1），根据对应边成比例可得，，在中根据勾股定义即可求出，从而得到点、点的坐标，再根据待定系数法即可得到直线的解析式，从而得到点的坐标。
（3）存在，应该有两条如图：
①直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．
②直线DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．