Question

如图，已知点O是锐角三角形ABC的外心，过A、B、O三点的圆交AC、BC于E、F，且EF=OC，
（1）求证：OC⊥EF；
（2）求：∠AOB的度数．

Answer 1

分析：（1）连接OA，OB，AF，BE，由点O是锐角三角形ABC的外心，又EF=OC，可得OA=OB=EF，即得到它们所对的弧相等，可推出

AE

=

OF

，

EO

=

BF

，所以有∠1=∠3=∠7=∠5，∠2=∠8=∠4=∠6，可证出∠1+∠2=45°．要证OC⊥EF，即证∠1+∠CEF=90°，而∠CEF=∠ABC=∠6+∠7+∠8=∠1+2∠2，因此可得到∠1+∠CEF=2（∠1+∠2）=90°．
（2）利用同弧所对圆心角是它所对的圆周角的2倍即由∠AOB=2∠ACB直接得到．

解答：（1）证明：如图，连接OA，OB，AF，BE，
∵点O是锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OB=OC，又EF=OC，
∴OA=OB=EF，
∴

AEO

=

EOF

=

BFO

，
∴

AE

=

OF

，

EO

=

BF

∴∠1=∠3=∠7=∠5，∠2=∠8=∠4=∠6
而∠ACB+∠BAC+∠CBA=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=4（∠1+∠2）=180°
所以∠1+∠2=45°．
又∠CEF=∠ABC=∠6+∠7+∠8=∠1+2∠2
即∠1+∠CEF=2（∠1+∠2）=90°，
所以OC⊥EF；

（2）解：∠AOB=2（∠1+∠2）=2×45°=90°．

点评：本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．同时考查了三角形的外心到三个顶点的距离相等．