Question

如图所示，把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．
（1）线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想；
（2）若旋转角为30°，AB=

5

，求线段HG的长．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质以及HL定理得出Rt△AGH≌Rt△ABH即可得出答案；
（2）利用全等三角形的性质得出∠GAH=∠HAB，GH=BH，进而利用锐角三角函数关系得出HG的长．

解答：解：（1）HG=HB，
理由：方法1，连结AH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，
在Rt△AGH和Rt△ABH中

AH=AH AG=AB

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），
∴HG=HB；
方法2：连结GB，
∵四边形ABCE，AEFG都是正形，
∴∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AB=AG，
∴∠AGB=∠ABG，
∴∠HGB=∠HBG，
∴HG=HB；

（2）∵Rt△AGH≌Rt△ABH，
∴∠GAH=∠HAB，GH=BH，
∵旋转角为30°，AB=

5

，
∴∠GAH=∠HAB=30°，
∴tan30°=

HB

AB

=

GH

AG

，
∴HG=

3

3

×

5

=

15

3

．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系以及全等三角形的判定与性质，得出Rt△AGH≌Rt△ABH是解题关键．