Question

一数学研究小组探究了以下相关的两个问题，请你也试试．
（1）如图1，已知△ABC，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．试探究∠A与∠BOC的度数之间的关系．
（2）如图2，已知点O是△ABC内切圆的圆心，点O′是△ABC外接圆的圆心．试探究∠BOC与∠BO′C的度数之间的关系．

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠A．
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1+∠2=（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A；

（2）∠BOC=90°+∠BO′C．
∵点O是△ABC内切圆的圆心，
∴BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
由（1）知∠BOC=90°+∠A，
∵点O′是△ABC外接圆的圆心，
∴∠A是圆心角∠BO′C所对的圆周角，
∴∠A=∠BO′C．
∴∠BOC=90°+∠A=90°+×∠BO′C=90°+∠BO′C．
分析：（1）先根据BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线得出∠1+∠2=（180°-∠A），再根据∠1+∠2+∠BOC=180°即可得出结论；
（2）由点O是△ABC内切圆的圆心，可知BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，由（1）知∠BOC=90°+∠A，点O′是△ABC外接圆的圆心，故可得出∠A是圆心角∠BO′C所对的圆周角，故∠A=∠BO′C，再由三角形内角和定理即可得出结论．
点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．