Question

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．勾股数的寻找与判断不是件很容易的事，不过还是有一些规律可循的．（以下n为正整数，且n≥2）
（1）观察：3、4、5；　 5、12、13；　7、24、25；…，
小明发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．小明根据发现的规律，推算出这一类的勾股数可以表示为：2n-1、2n（n-1）、2n（n-1）+1．请问：小明的这个结论正确吗？
答______．（直接回答正确或错误，不必证明）
（2）继续观察第一个数为偶数的情况：4、3、5；　 6、8、10；　 8、15、17；…，
亲爱的同学们，你能像小明一样发现每组勾股数中的其他两边长都有何规律吗？若用2n表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数．

Answer 1

解：（1）结论正确；

（2）∵这些数为：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，
若用2n表示第一个偶数，那么其它两个数为n²-1，c=n²+1
∴（2n）²+（n²-1）²=n⁴+2n²+1=（n²+1 ）²，
∴2n、n²-1、n²+1是一组勾股数．
故答案为：正确．
分析：（1）小明的这个结论正确吗．可以利用勾股定理的逆定理证明；
（2）由于这些数为：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n表示第一个偶数，那么其它两个数为n²-1，c=n²+1，然后利用勾股定理的逆定理即可解决问题．
点评：本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形．