Question

如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．

（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴AE=BE=AB=4。
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，∴根据勾股定理，得OE=3。
∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2。
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，∴。
（2）AD与⊙O相切。证明如下：
∵半径OC垂直于弦AB，∵。∴∠AOC=2∠BAC。
∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD。
∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°。∴OA⊥AD。
∵OA是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线。

（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；
（2）根据垂径定理得到，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，即∠OAD=90°，根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线。