Question

已知：关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若抛物线y=k²x²-（2k+1）x+1与x轴交于A、B两点，且

1

OA

+

1

OB

=5，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式

专题：

分析：（1）根据关于x的一元二次方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，得出k≠0，△＞0，再计算即可，
（2）设物线y=k²x²-（2k+1）x+1与x轴交于A、B两点的横坐标分别是x₁、x₂，利用根与系数的关系求得|x₁+x₂|、|x₁•x₂|的值，然后将它们代入所求的代数式．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，△=b²-4ac=[-（2k+1）]²-4k²=4k+1＞0，
∴k的取值范围是k＞-

1

4

且k≠0，；

（2）设物线y=k²x²-（2k+1）x+1与x轴交于A、B两点的横坐标分别是x₁、x₂，则|x₁+x₂|=|

2k+1

k2

|、|x₁•x₂|=

1

k2

，
∵由（1）知，k＞-

1

4

且k≠0，
∴2k+1＞

1

2

，且2k+1≠1，
∴

1

OA

+

1

OB

=

OA+OB

OA•OB

=|2k+1|=5，即2k+1=5，
解得，k=2．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，注意方程若为一元二次方程，则k≠0．