Question

设L是坐标平面第二、四象限内坐标轴的夹角平分线．
（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；
（2）求∠BAC的度数；
（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）设C（x，-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；
（2）作BE⊥AC于E，求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE、BE，求出∠A即可；
（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根据圆周角定理求出∠AO'B，证△AO'B≌△ACB，推出R=AC，根据三角形的面积和扇形的面积公式求出即可．
解答：解：（1）设C（x，-x），
∵AC=BC，
根据勾股定理得：（x+4）²+（-x+2）²=（x-5）²+，
解得：x=2，
∴C（2，-2）．
答：点C的坐标是（2，-2）．

（2）AC∥x轴，作BE⊥AC于E，
∴AC=2+4=6，
由勾股定理得：BC==6，
∴AC=BC=6，BE=3，CE=3，
∴∠ABC=∠BAC=30°．
答：∠BAC的度数是30°．

（3）设圆心为O’，
∵∠ACB=180°∠A-∠ABC=120°，
∴∠AO'B=360°-2×120°=120°，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，AB=AB，
∴△AO'B≌△ACB，
∴AO=OB=AC=BC=6，
∴R=6，
连接O'C交AB于D，
则CD⊥AB，
∵∠CAB=30°，
∴CD=AC=3，
由勾股定理得：AD=3，
∴AB=2AD=6，
∴S_弓形ABC=S_扇形OACB-S_△ACB=-×6×3=12π-9．
答：（1）中△ABC的外接圆半径R是6，以AB为弦的弓形ABC的面积是12π-9．
点评：本题主要考查对圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积，勾股定理，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．