题目内容
(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,.
(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;
(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.
(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)
[解] (1) 由AE=40,BC=30,AB=50,ÞCP=24,又sinÐEMP=ÞCM=26。
(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中,∵ ÐEAP=ÐBAC,∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC,
∴ ,即,∴ EP=x,
又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=,∴ MP=x=PN,
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32)。
(3) j 當E在線段AC上時,由(2)知,,即,ÞEM=x=EN,
又AM=AP-MP=x-x=x,
由題設△AME ~ △ENB,∴ ,Þ=,解得x=22=AP。
k 當E在線段BC上時,由題設△AME ~ △ENB,∴ ÐAEM=ÐEBN。
由外角定理,ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP,
∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM,Þ,即,ÞCE=…j。
設AP=z,∴PB=50-z,
由Rt△BEP ~ Rt△BAC,Þ,即=,ÞBE=(50-z),∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。
由j,k,解=30-(50-z),得z=42=AP。
【解析】略