Question

把两块全等的等腰直角△ABC和△DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q也与B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，0°＜α＜45°，如图2．问AP•CQ的值是多少？说明你的理由；
（3）将三角板DEF由图2所示的位置绕点O继续沿逆时针方向旋转，即45°＜α≤90°时，如图3．问AP•CQ的值又是多少？说明你的理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=6，
∴AD=CD=3，
∴AP×CQ=AD×CD=18；
故答案为：18．

（2）AP•CQ的值是18
证明：在△APD与△CDQ中，
∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α），
=90°-α，
而∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ，
∴，
∴AP•CQ=AD•CD，
∵AD=CD=，
而AC=6，
∴AP•CQ=3•3
=18．

（3）同理可说明
AP•CQ=18．
分析：（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质等知识的综合应用，有一定难度，要对各部分知识都要熟练掌握．