题目内容
【题目】如图,在中,,过点的直线,为边上一点,过点作,交直线于,垂足为,连接,.
(1)求证:;
(2)当为中点时,四边形是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若为中点,则当________时,四边形是正方形
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是菱形.理由见解析(3)当时,四边形是正方形.
【解析】
(1)先证出四边形ADEC是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可;
(2)先证明出四边形BECD是平行四边形,再求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可;
(3)求出∠CDB=90°,再根据正方形的判定推出即可.
(1)证明:∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD;
(2)解:四边形BECD是菱形,
理由是:∵D为AB中点,
∴AD=BD,
∵CE=AD,
∴BD=CE,
∵BD∥CE,
∴四边形BECD是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴四边形BECD是菱形;
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由是:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC,
∵D为BA中点,
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形,
∴菱形BECD是正方形,
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
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