题目内容

【题目】如图,在中,,过点的直线边上一点,过点,交直线,垂足为,连接.

1)求证:

2)当中点时,四边形是什么特殊四边形?说明你的理由;

3)若中点,则当________时,四边形是正方形

【答案】1)证明见解析(2)四边形是菱形.理由见解析(3)当时,四边形是正方形.

【解析】

1)先证出四边形ADEC是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可;
2)先证明出四边形BECD是平行四边形,再求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可;
3)求出∠CDB=90°,再根据正方形的判定推出即可.

1)证明:∵DEBC

∴∠DFB=90°

∵∠ACB=90°

∴∠ACB=DFB

ACDE

MNAB,即CEAD

∴四边形ADEC是平行四边形,

CE=AD

2)解:四边形BECD是菱形,

理由是:∵DAB中点,

AD=BD

CE=AD

BD=CE

BDCE

∴四边形BECD是平行四边形,

∵∠ACB=90°DAB中点,

CD=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

四边形BECD是菱形;

3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由是:

∵∠ACB=90°,∠A=45°

∴∠ABC=A=45°

AC=BC

DBA中点,

CDAB

∴∠CDB=90°

∵四边形BECD是菱形,

∴菱形BECD是正方形,

即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.

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