Question

已知菱形ABCD，现将三角形纸片的一个角的顶点与A重合，适当地绕点A旋转该三角形纸片，使∠EAF=∠ABC．连接AC．
（1）如图1，若∠ABC=90°，求证：CE+CF=AC；
（2）如图2，若∠ABC=60°，线段CE、CF、AC三条线段的数量关系是否改变？若改变直接写出结论；若不改变请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若菱形ABCD的周长是12，CF=1，求线段AF的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠B=∠D，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE+CF=2BC，
∵BC=AC，
∴CE+CF=AC；

（2）解：线段CE、CF、AC三条线段的数量关系改变．
∵∠ABC=60°，∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AC，
∴△ABE≌△CAF，
∴BE=CF，
∴CE+CF=BC=AC．
故线段CE、CF、AC三条线段的数量关系改变；

（3）解：∵菱形ABCD的周长是12，
∴AB=BC=AC=3，
在△ACF中，AC=3，CF=1，∠ACF=60°，
根据余弦定理，cos60°=，
即=，
解得AF=．
分析：（1）根据题干条件首先证明∠BAE=∠DAF，然后证明△ABE≌△ADF，得BE=DF，再利用正方形的性质即可得到CE+CF=AC；
（2）根据题干条件首先证明∠BAE=∠CAF，然后证明△ABE≌△CAF，得BE=CF，再利用菱形的性质即可证明出线段CE、CF、AC三条线段的数量关系．
（3）首先根据菱形的周长求出AC的长，然后在△ACF中，AC=3，CF=1，∠ACF=60°，利用余弦定理求出AF的长．
点评：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和勾股定理的应用，此题难度一般．