题目内容
某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明．
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在
1
1
个、2
2
个、3
3
个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明．
分析：（1）分别画一下即可得出答案；
（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则AC=
．
（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则AC=
| 2 |
解答：解：（1）1，2，3．…（3分）
（2）乙同学的结果不正确．
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则AC=
，
如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形，
设它的边长为a，则依题意可得：
=
，
解得：a=
．
如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形，
设它的边长为b，则依题意可得：
=
，
解得：b=
∵a＞b，
∴乙同学的结果不正确．
（2）乙同学的结果不正确．例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则AC=
| 2 |
如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形，
设它的边长为a，则依题意可得：
| a |
| 1 |
| 1-a |
| 1 |
解得：a=
| 1 |
| 2 |
如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形，
设它的边长为b，则依题意可得：
| b | ||
|
| ||||
|
解得：b=
| ||
| 3 |
∵a＞b，
∴乙同学的结果不正确．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键，本题难度较大，注意第一题可以动手画一下．
练习册系列答案
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某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
不妨设
，三条边上的对应高分别为
，内接正方形的边长分别为
.若你对本小题证明有困难，可直接用“
”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.
不妨设
，三条边上的对应高分别为
，内接正方形的边长分别为
.若你对本小题证明有困难，可直接用“
”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.
不妨设
，三条边上的对应高分别为
，内接正方形的边长分别为
.若你对本小题证明有困难，可直接用“
”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.