题目内容
【题目】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：
；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
【答案】(1)详见解析；（2）10.
【解析】
①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故
.
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
∴.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴OCPD=OPPA=CPDA=14√=12.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8x.
在△PCO中，
∵∠C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，
∴x2=(8x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
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