题目内容
【题目】如图,抛物线y=过点C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;
(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值;
(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点P的坐标.
【答案】(1) ,(2,﹣1);(2);(3) (2,2+)或(2,2﹣).
【解析】
试题分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式;根据顶点式解析式,可得顶点坐标;
(2)根据勾股定理及逆定理,可得∠OMC=90°,根据正切函数,可得答案;
(3)根据相似三角形的判定与性质,可得PM的值,可得M点坐标.
试题解析:(1)由抛物线y=过点C(4,3),得
,解得a=1,
抛物线的解析式为,顶点M的坐标为(2,﹣1);
(2)如图1,
连接OM,==25,==5,==20,
∴+=,
∴∠OMC=90°,OM=,CM=,
tan∠OCM=;
(3)如图2,
过C作CN⊥对称轴,垂足N在对称轴上,取一点E,使EN=CN=2,连接CE,EM=6.
当y=0时,,解得=1,=3,
∴A(1,0),B(3,0).
由CN=EN,PB=PM,得
∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°.
∵∠CPM=∠CEP+∠ECP,
∴∠ECP=∠BPM,
∴△CEP∽△PMB,
∴,解得MB=,CE=,
∴,解得PM=,
P点坐标为(2,2+)或(2,2﹣).
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