题目内容

【题目】如图,抛物线y=过点C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).

(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;

(2)连接OC,CM,求tanOCM的值;

(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当CPB=PMB时,求点P的坐标.

【答案】(1) ,(2,﹣1);(2)(3) (2,2+)或(2,2﹣).

【解析】

试题分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式;根据顶点式解析式,可得顶点坐标;

(2)根据勾股定理及逆定理,可得OMC=90°,根据正切函数,可得答案;

(3)根据相似三角形的判定与性质,可得PM的值,可得M点坐标.

试题解析:(1)由抛物线y=过点C(4,3),得

解得a=1,

抛物线的解析式为,顶点M的坐标为(2,﹣1);

(2)如图1,

连接OM,==25,==5,==20,

+=

∴∠OMC=90°,OM=,CM=

tanOCM=

(3)如图2,

过C作CN对称轴,垂足N在对称轴上,取一点E,使EN=CN=2,连接CE,EM=6.

当y=0时,,解得=1,=3,

A(1,0),B(3,0).

由CN=EN,PB=PM,得

CEP=PMB=CPB=45°.

∵∠CPM=CEP+ECP,

∴∠ECP=BPM,

∴△CEP∽△PMB,

,解得MB=,CE=

,解得PM=

P点坐标为(2,2+)或(2,2﹣).

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