题目内容

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．
如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的 $数学公式$ km处．
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

解：方案一：
由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB，
∵点M到乙村的最短距离为MD，
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，
即最小值为MB+MD=3+ $\text{[math]}$ （km）；
方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，
连接AM'交OE于点P，PE∥AM，PE= $\text{[math]}$ AM，
∵AM=2BM=6，∴PE=3，
在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3，
ME= $\text{[math]}$ DM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM'过D点，
在线段CD上任取一点P'，连接P'A，P′M，P'M'，
则P'M=P′M'，
∵AP'+P'M'＞AM'，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，
即最小值为AD+DM=AM'= $\text{[math]}$ ；
方案三：作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，
∴M'N为点M'到OE的最短距离，即M'N=GM+GN
在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，
∴MH=3，∴NE=MH=3，

∵DE=3，∴N，D两点重合，即M'N过D点，
在Rt△M'DM中，DM= $\text{[math]}$ ，∴M'D= $\text{[math]}$
在线段AB上任取一点G'，过G'作G'N'⊥OE于N'点，
连接G'M'，G'M，
显然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD
线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=M'D= $\text{[math]}$ ，
综上，∵3+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．
分析：（1）由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；
（2）作点M关于射线OE的对称点M'，则MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，且证明P点与E点重合，即AM'过D点．求出AM'的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；
（3）作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM'，可证得N，D两点重合，即M'N过D点．求GM+GD=M'D的值就是最小值．
点评：此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．