题目内容
【题目】如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C, F, O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD,
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出
的值(用含α的式子表示出来)
【答案】（1）BF=CD，证明见解析；（2）不成立，见解析；（3）
.
【解析】
（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为
；
（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan
(1)猜想：BF=CD.理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD.
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF与△COD中，
∴△BOF≌△COD(SAS)，
∴BF=CD.
(2)答：(1)中的结论不成立。
如答图③所示，连接OC、OD.
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴
=tan30°= ,∠BOC=90°.
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴
=tan30°= ,∠DOF=90°.
∴ = =.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中，
∵ = =，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴
.
(3)如答图④所示，连接OC、OD.
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴OBOC=tanα2,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴ =tan ,∠DOF=90°.
∴ = =tan.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中，
∵ = =tan，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴
tan
字词句段篇系列答案
