Question

已知：如图，MN是⊙O的切线，切点为A，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E．
求证：AC²=AE•AB．

Answer 1

证明：连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，CB，
∵MN是⊙O的切线，
∴FA⊥MN，
∴∠MAC+∠CAF=90°，
∵AF过点O，
∴∠ACF=90°，
∴∠CAF+∠F=90°，
∴∠MAC=∠F
∵∠CAB=∠CAB
∴△ACE∽△ABC
∴
∴AC²=AE•AB．
分析：连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，CB，利用切线的性质和圆周角定理得到∠MAC=∠F后即可得到△ACE∽△ABC，从而证得结论．
点评：本题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出如图的辅助线．