题目内容

【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC交O于点D,E是弧CD的中点,连接AE交BC于点F,∠ABC=2∠EAC.

(1)求证:AB是⊙O的切线;

(2)若 tanB=,BD=6,求CF的长.

【答案】(1)见解析;(2)CF的长为

【解析】

(1)连结AD,如图,根据圆周角定理,由E的中点,得到∠EAC=EAD,由于∠ABC=2EAC,则∠ABC=DAC,再利用圆周角定理得到∠ADB=90°,则∠DAC+ACB=90°,所以∠ABC+ACB=90°,于是根据切线的判定定理得到AB是⊙O的切线;

(2)作FHACH,如图,利用余弦定义,在RtABD中可计算出AD=8,利用勾股定理求得AB=10,在RtACB中可计算出AC=,根据勾股定理求得BC=,则,CD=BC-BD=,接着根据角平分线性质得FD=FH,于是设CF=x,则DF=FH=-x,然后利用平行线得性质由FHAC得到∠HFB=C,所以cosBFH=cosB=,再利用比例性质可求出CF.

(1)证明:连接AD,

AC是⊙O的直径,∴ADBC,∴∠DAC+C=90°,

E的中点,∴∠EAC=EAD,∴∠DAC=2EAC,

∵∠ABC=2EAC,∴∠ABC=DAC,∴∠ABC+C=90°,

∴∠BAC=90°,CAAB,

AB是⊙O的切线;

(2)FHACH,如图,

RtABD中,∵tanB=,BD=6,

AD=8,

AB==10,

RtACB中,∵tanB=

AC=

BC=

CD=BC-BD=

∵∠EAC=EAD,即AF平分∠CAD,

FDAD,FHAB,

FD=FH,

CF=x,则DF=FH=-x,

FHAC,

∴∠HFC=B,

RtCFH中,∵tanCFH=tanB==

,解得x=

CF的长为

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