题目内容

已知,如图:在平面直角坐标系中,O是坐标原点,△ABC的三个顶点坐精英家教网标分别是A(1,2
3
),B(-3,0),C(3,0),直线AC与反比例函数y=
k
x
在第一象限内的图象相交于A,M两点.
(1)求反比例函数y=
k
x
的解析式;
(2)连接BM交AO于点N,求证:N是△ABC的重心;
(3)在直线AC上是否存在一点P使△BPO的周长L取得最小值?若存在,求出L的最小值并证明;若不存在,请说明理由.
分析:本题是一次函数和反比例函数以及三角形的重心、轴对称相结合的一道综合试题.要求反比例函数的解析式,而点A图象上,将其坐标代入即可;要求点N是三角形的重心.由已知B、C的坐标可知O是BC的中点.只要求出M是AC的中点就可,可以求出AC的解析式,利用反比例函数和一次函数的解析式求出M点的坐标,过点A、M作x轴的垂线于D、C.求出D、C的坐标从而求出DC、EC的长,由相似得到M是AC的中点,得N是重心;利用轴对称找到O点关于AC的对称点O|,作其x轴的垂线,连接CO|,由三角函数求出∠ACD、∠ACO|,的度数,求出O|,的长度在加上BO的长度就是L的最小值.
解答:解:(满分12分)(1)点A在y=
k
x
的图象上,∴2
3
=
k
1
k=2
3
(2分)
∴y=
2
3
x


(2)设经过A、C的直线的表达式为y=k1x+b由A(1,2
3
),C(3,0),
k 1+b=2
3
3k 1+b=0
k 1=-
3
,b=3
3
(4分)(各1分)
∴经过AC的直线的表达式为y=-
3
x+3
3

∵直线AC与y=
k
x
的图象交点为M,且k=2
3

∴直线y=-
3
x+3
3
与双曲线y=
2
3
x
在M点的纵坐标相等,精英家教网
2
3
x
=-
3
x+3
3
,(5分)
解得:x=1或x=2,经检验都是原方程的根
∴A(1,2
3
)和M(2,
3
)(6分)
过A作垂线段AD⊥BC,垂足为D,则D(1,0)∴DC=2
过M作垂线段ME⊥BC,垂足为E,则E(2,0)∴EC=1
易证△CME∽△CAD,∴
CE
CD
=
CM
CA
=
1
2
,∴CM=
1
2
CA,M是AC中点,BM是△ABC的中线
又B(-3,0),C(3,0),∴O是BC中点,AO是△ABC的中线,∴N是△ABC的重心(7分)

(3)过O作直线AC的对称点O′,连接BO′交AC于P,
连接BP,PO,则△BPO周长最小.(9分)
证明:∵O和O′关于直线AC对称,∴PO=PO′,∴BP+OP=BO′
在直线AC上任取异于P的点P′,连接BP′,OP′,P′O′,
则BP′+OP′=BP′+P′O′>BO′,(10分)
∴BO′是BP+OP的最小值.又BO是定值,
∴此时△BPO周长L最小.
O、O′关于直线AC对称,∴△CPO≌△CPO′
OC=CO′=3,又AD=2
3
,DC=2,
∴tan∠ACD=
AD
DC
=
2
3
2
=
3

∴∠ACD=60°,∴∠PCO'=∠ACD=60°,
∴CQ=1.5,QO′=
3
2
3

又BQ=BC+CQ=6+
3
2
=7
1
2

BO′=
(
15
2
)
2
+(
3
2
3
)
2
=3
7

∴最小值L=3
7
+3
(12分)
点评:本题是一道综合性较强,难度较大的综合题目,解答中要注意运用数形结合的思想,利用解析式求交点坐标,运用轴对称知识,三角形的相似和全等以及解直角三角形的知识.解答中将图形和数值结合.
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