题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=﹣x+1与y轴交于点D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)证明:△DBO∽△EBC;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)详见解析;(3)符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).

【解析】

试题分析:(1)先求出点C的坐标,在由BO=OC=3AO,确定出点B,A的坐标,最后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出点A,B,C,D,E的坐标,从而求出BC=3,BE=2,CE=,OD=1,OB=3,BD=,求出比值,得到得出结论;(3)设出点P的坐标,表示出PB,PC,求出BC,分三种情况计算即可.

试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3,

∴c=﹣3,

∴C(0,﹣3),

∴OC=3,

∵BO=OC=3AO,

∴BO=3,AO=1,

∴B(3,0),A(﹣1,0),

∵该抛物线与x轴交于A、B两点,

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,

(2)由(1)知,抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴E(1,﹣4),

∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),

∴BC=3,BE=2,CE=

∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D,

∴D(0,1),

∵B(3,0),

∴OD=1,OB=3,BD=

∴△BCE∽△BDO,

(3)存在,

理由:设P(1,m),

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴BC=3,PB=,PC=

∵△PBC是等腰三角形,

①当PB=PC时,

=

∴m=﹣1,

∴P(1,﹣1),

②当PB=BC时,

∴3=

∴m=±

∴P(1,)或P(1,﹣),

③当PC=BC时,

∴3=

∴m=﹣3±

∴P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣),

∴符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).

考点:二次函数的综合题.

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