Question

【题目】如图（1），在ABC中，AB=BC=5，AC=6，ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图（2）,P是线段BC上一动点，（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积.

Answer 1

【答案】解 ：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下 ：
∵ABC沿BC方向平移得到△ECD；
∴AB∥CE ;AB=CE;
∴ 四边形ABCE是平行四边形；
又∵AB=BC,
∴平行四边形ABCE是菱形；
（2）不变.∵平行四边形ABCE是菱形；
∴AC⊥BE,OC＝AC=3,BE=2OB;
∴BE=2OB=×2=8;
由菱形的对称性可知,△PBO≌△QEO,
∴S△PBO=S△QEO.
∵△ECD是由△ABC平移得到的,
∴ED∥AC,ED=AC=6.
又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24.
【解析】（1）根据平移的性质得出AB∥CE ;AB=CE;根据一组对边平行且相等的的四边形是平行四边形得出四边形ABCE是平行四边形；又AB=BC,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出平行四边形ABCE是菱形；
（2）根据菱形的对角线互相平分且垂直得出AC⊥BE,OC＝AC=3,BE=2OB;然后利用勾股定理得出OB的长，进而得出BE的长，由菱形的对称性可知,△PBO≌△QEO,根据全等三角形的面积相等得出S△PBO=S△QEO.根据平移的性质得出ED∥AC,ED=AC=6.又BE⊥AC,故BE⊥ED,根据S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED得出答案。