Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）试说明：PB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，AB=2，求PA的长．

Answer 1

解：（1）连接OB，OP，交AB于点D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，
∴AC是⊙O的直径，
又∵PA与⊙O相切，
∴∠OAP=90°，在△OAP和△OBP中
，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
即OB⊥BP．
又∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．

（2）∵∠ABC=∠OBP=90°，
∴∠OBC=∠ABP，
又∵OC=OB，PA=PB，
∴∠OCB=∠OBC=∠ABP=∠BAP，
∴△OCB∽△PAB，
∴即，
而在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴BC=2
∴PA=．
分析：（1）连接OB，OP，交AB于点D，根据SSS证△OAP≌△OBP，推出∠OBP=∠OAP=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出BC长，证△OBC∽△PAB，得出比例式，代入求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识点的运用，主要培养学生的推理能力，题目具有一定的代表性，难度也适中．