题目内容
【题目】如图①，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．
（1）如图①，若∠A=∠D,判断∠C与∠B的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
①仔细观察，在图②中有 个“8字形”；
②∠B=80°，∠C=100°，求∠P的度数．
【答案】（1）∠C=∠B（2）①6②90
【解析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；
（2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；
②根据三角形的内角和定理求出∠ODB∠OAC，再根据角平分线的定义求出∠CAM＋∠C∠PDM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
解：（1）在△AOC中，∠AOC＝180°∠A∠C，
在△BOD中，∠BOD＝180°∠B∠D，
∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
∴180°∠A∠C＝180°∠B∠D，
∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
∵∠A=∠D,
∴∠C=∠B.
故答案为：∠C=∠B.
（2）①交点有点M、O、N，
以M为交点有1个，为△AMC与△DMP，
以O为交点有4个，为△AOC与△DOB，△AOM与△DON，△AOM与△DOB，△DON与△AOC，
以N为交点有1个，为△ANP与△DNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
∵∠C＝100°，∠B＝80°，
∴∠OAC＋100°＝∠ODB＋80°，
∴∠ODB∠OAC＝20°，
∵AP、DP分别是∠CAB和∠BDC的角平分线，
∴∠CAM＝
∠OAC，∠PDM＝∠ODB，
又∵∠CAM＋∠C＝∠PDM＋∠P，
∴∠P＝∠CAM＋∠C∠PDM＝（∠OAC∠ODB）＋∠C＝×（20°）＋100°＝90°；
