题目内容

(2013•丰南区一模)如图,将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动,当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径的长为
4+2
3
3
πa
4+2
3
3
πa
分析:连A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a,A1A5=A1A3=
3
a,而当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径分别是以A6,A5,A4,A3,A2为圆心,以a,
3
a,2a,
3
a,a为半径,圆心角都为60°的五条弧,然后根据弧长公式进行计算即可.
解答:解:连A1A5,A1A4,A1A3,作A6C⊥A1A5,如图,

∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形,
∴A1A4=2a,∠A1A6A5=120°,
∴∠CA1A6=30°,
∴A6C=
1
2
a,A1C=
3
2
a,
∴A1A5=A1A3=
3
a,
当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径分别是以A6,A5,A4,A3,A2为圆心,
以a,
3
a,2a,
3
a,a为半径,圆心角都为60°的五条弧,
∴顶点A1所经过的路径的长=
4+2
3
3
πa,
故答案为:
4+2
3
3
πa.
点评:本题考查了弧长公式:l=
nπr
180
,也考查了正六边形的性质以及旋转的性质,难度一般.
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