题目内容

抛物线y=
2
3
x2+2bx与x轴的两个不同交点是O和A，顶点B在直线y=kx上，若△OAB是等边三角形，则b=（　　）
A、±
3
B、±3
C、±
3
3
D、±
1
3
分析：先根据题意求出O和A的横坐标，然后利用顶点式，依据二次函数的性质即可解答．
解答：解：已知抛物线y=
2
3
x2+2bx与x轴的两个不同交点是O和A，令y=0求出x=0或-3b
又由配方法得，原抛物线方程化为y=
2
3
(x+
3b
2
)2-
3b2
2

由等边三角形性质得，±3b×
3
2
=
3b2
2
，
解得b=±
3
．
故选A．
点评：本题涉及二次函数的综合题型，难度中等．
练习册系列答案
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如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y=
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x2精英家教网于P，Q两点．
（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．
如图，二次函数y=
2
3
x2-
1
3
x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（-1，m）精英家教网，B（n，n）
（1）求A、B的坐标；
（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点C有几个？
②能否将抛物线y=
2
3
x2-
1
3
x平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．
如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（-3，0）．（0，4），抛物线y=
2
3
x2+bx+c经过点B，点M（
5
2
，
3
2
）是该抛物线对称轴上的一点．
（1）b=
-
10
3
-
10
3
，c=
4
4
；
（2）若把△AOB沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别为D，C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD．若点P是线段OB上的一个动点（点P与点O，B不重合），过点P作PQ∥BD交x轴于点Q，连接PM，QM．设OP的长为t，△PMQ的面积为S．
①当t为何值时，点Q，M，C三点共线；
②求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=-
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x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan∠EOB=1，求点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得△PBE为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=
2
3
x2-
10
3
x+c经过B点．
（1）请写出抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段CD下方的抛物线上有一个动点M．过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

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