题目内容
【题目】如图，AB是半圈O的直径，率径OC⊥AB，OB=4，D是OB的中点，点E是BC上一动点，连结AE，DE．
（1）当点E是BC的中点时，求△ADE的面积
（2）若tan∠AED=
，求AE的长，
（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m.
①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值．
②延长DF交半圆弧于点G，若AG=EG，AG∥DE，直接写出DE的长.
【答案】（1）6
（2）
（3）①
-1或2
或2；②DE=
【解析】
（1）因为点E是弧BC的中点，连接OE，BE，利用45°构造直角三角形，利用相似三角形的性质建立方程即可．
（2）条件中有三角函数，所以作DF⊥AE构造直角三角形，接着出现平行相似，利用AD与AB之比，表示AF，用△AFD建立勾股关系方程．
（3）①分别以D、E、F为直角端点分类讨论，用全等和相似三角形结论建立方程求解．
②需要导角证明△BDE为等腰三角形，用勾股定理求出AG，用△AOG～△DEB求出DE
（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB
设DH=a，则HB=2-a，OH=2+a
∵点E是弧BC中点
∴∠COE=∠EOH=45°
∴EH=OH=2+a
在Rt△AEB中，EH2=AHBH
（2+a）2=（6+a）（2-a）
解得a=±22
∴a=22
S△ADE=6
（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE
设EF=2x，DF=3x
∵DF∥BE
∴
∴
∴AF=6x
在Rt△AFD中，AF2+DF2=AD2
（6x）2+（3x）2=（6）2
解得x=
AE=8x=；
（3）①当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图
设DH=a
可证△ODF≌△EDH
∴OD=EH=2
在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2
（2）2=（6+a）2（2-a）2
解得a=±2
2
m=2
当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图
可证△EFG≌△EDH
设DH=a，则GE=a，EH=CG=2+a
在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2
（2+a）2=（6+a）2+（2-a）2
解得a=±22
∴m=2
当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图
可证△EFM≌△ODF
设OF=a，则ME=a，MF=OD=2
∴EH=a+2
在Rt△ABE中，EH2=AHBH
（a+2）2=（4+a）（4-a）
解得a=±1
m=1
②可证△BDE为等腰三角形
BD=BE=2
∵△AOF∽△ABE
∴OF=1
在Rt△OFA中，由勾股定理可得AF=
GF=3
勾股定理可得AG=2
∵△AOG∽△DEB
∴
∴DE=
补充习题江苏系列答案
学练快车道口算心算速算天天练系列答案
