Question

如图，已知△OAB的顶点A（-6，0），B（0，2），O是坐标原点， 将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．

（1）写出C点的坐标为          ;
（2）设过A，D，C三点的抛物线的解析式为，求其解析式?
（3）证明AB⊥BE．

Answer 1

（1）C（2，0），D（0，6）；（2）y=﹣x²﹣2x+6；（3）证明见解析．

试题分析：（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；
（2）由于抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；
（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，则AB²+BE²=AE²，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．
试题解析：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；
（2）∵抛物线过点A（﹣6，0），C（2，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x﹣2）（a≠0），
∵D（0，6）在抛物线上，
∴6=﹣12a，
解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2），即y=﹣x²﹣2x+6；
（3）∵y=﹣x²﹣2x+6=﹣（x+2）²+8，
∴顶点E的坐标为（﹣2，8），
连接AE．

∵A（﹣6，0），B（0，2），E（﹣2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（﹣2﹣0）²+（8﹣2）²=40，AE²=（﹣2+6）²+（8﹣0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．．