题目内容

一个正三角形的外接圆半径为4cm，则这个内接正三角形的面积为

．

分析：作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．

解答：解：在中心的直角三角形的角为360°÷3÷2=60°，
∴边长的一半为2

3

，边心距=2，
∴这个内接正三角形的面积为

1

2

×4

3

×2×3=12

3

．

点评：解正多边形和圆的问题时，应连接圆心和正多边形的顶点，作出边心距，得到和中心角一半有关的直角三角形进行求解．

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如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．
（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|．于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，
①若n=3，则该正n边形的“接近度”等于

．
②若n=20，则该正n边形的“接近度”等于

．
③当“接近度”等于

．时，正n边形就成了圆．
（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为|

-1|．分别计算n=3，n=6时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？

（2013•武侯区一模）已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（c＞b），关于x的方程x²-2（b+c）x+2bc+a²=0有两个相等的实数根，且∠B、∠C满足关系式

sin∠B=sin∠C，△ABC的外接圆面积为64π．
（1）求a，b，c的长．
（2）若D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，点P为AB边上的一个动点，PQ∥AC，且交BC于点Q，以PQ为一边向点B的异侧作正三角形PQH，设正三角形PQH与矩形EDAF的公共部分的面积为S，BP的长为

x．直接写出S与x之间的关系．
（3）在（2）的情况下，当x=4

时，求S的值．

一个正三角形的外接圆半径为4cm，则这个内接正三角形的面积为________．

一个正三角形的外接圆半径为4cm，则这个内接正三角形的面积为．