题目内容
（2013•武侯区一模）已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边（c＞b），关于x的方程x2-2（b+c）x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，且∠B、∠C满足关系式
sin∠B=sin∠C，△ABC的外接圆面积为64π．
（1）求a，b，c的长．
（2）若D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，点P为AB边上的一个动点，PQ∥AC，且交BC于点Q，以PQ为一边向点B的异侧作正三角形PQH，设正三角形PQH与矩形EDAF的公共部分的面积为S，BP的长为
x．直接写出S与x之间的关系．
（3）在（2）的情况下，当x=4
时，求S的值．
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（1）求a，b，c的长．
（2）若D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，点P为AB边上的一个动点，PQ∥AC，且交BC于点Q，以PQ为一边向点B的异侧作正三角形PQH，设正三角形PQH与矩形EDAF的公共部分的面积为S，BP的长为
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（3）在（2）的情况下，当x=4
| 3 |
分析：（1）先由关于x的方程x2-2（b+c）x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，得出判别式△=0，化简得出b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠A=90°，再由
sin∠B=sin∠C，根据正弦定理得出
b=c，然后由，△ABC的外接圆面积为64π即可求出a=16，b=8，c=8
；
（2）分五种情况进行讨论：①0≤x≤
；②
＜x≤4；③4＜x≤
；④
＜x≤6；⑤6＜x≤8；每一种情况画出对应的图形，再根据图形将所求公共部分的面积写成规则图形的和差形式，然后计算即可；
（3）由于x=4
＞6，所以直接将x=4
代入（2）中第五种情况下S与x的关系式中，计算即可．
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（2）分五种情况进行讨论：①0≤x≤
| 8 |
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| 16 |
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（3）由于x=4
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解答：解：（1）∵关于x的方程x2-2（b+c）x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，
∴△=[-2（b+c）]2-4×1×（2bc+a2）=4（b2+c2-a2）=0，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°．
∵
sin∠B=sin∠C，
∴
b=c，
∴4b2=a2，
∴a=2b．
∵S=π×（
）2=64π，
∴a=16，b=8，c=8
；
（2）在Rt△ABC中，∵∠A=90°，a=16，b=8，c=8
，
∴∠B=30°，∠C=60°．
在Rt△BPQ中，∵∠BPQ=90°，BP=
x，
∴PQ=BP•tan30°=x．
分五种情况：
①当0≤x≤
时，如图1，S=0；
②当
＜x≤4时，如图2，S=S正△FGH，作正三角形PQH的高HJ，HJ交GF于I．
∵HJ=PHsin60°=
x，
∴HI=HJ+BP-BD=
x+
x-4
=
x-4
，
∴GI=
x-4，GF=2GI=3x-8，
∴S=S正△FGH=
（3x-8）2；
③当4＜x≤
时，如图3，S=S△PQH-S△MNQ．
∵PQ=x，PM=DE=
AC=4，
∴MQ=PQ-PM=x-4，
∴MN=
MQ=
（x-4），
∴S=S△PQH-S△MNQ=
x2-
•
（x-4）•（x-4）=-
x2+4
x-8
；
④当
＜x≤6时，如图4，S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF．
∵BP=
x，PM=DE=4，
∴AP=AB-BP=8
-
x，
∴S矩形APMF=PM•AP=4（8
-
x）．
∵AK=
AP=8-x，
∴S△PAK=
AP•AK=
（8
-
x）•（8-x）=
（8-x）2．
∵MN=
MQ=
（x-4），
∴NF=MF-MN=（8
-
x）-
（x-4）=12
-2
x，
∴LF=
NF=12-2x，
∴S△NLF=
NF•LF=
（12
-2
x）•（12-2x）=
（12-2x）2．
∴S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF
=4（8
-
x）-
（8-x）2-
（12-2x）2
=-
x2+28
x-72
；
⑤当6＜x≤8时，如图5，
S=S矩形APMF-S△PAK=4（8
-
x）-
（8-x）2=-
x2+4
x；
（3）在（2）的情况下，当x=4
＞6时，
S=-
×（4
）2+4
×4
=48-24
．
∴△=[-2（b+c）]2-4×1×（2bc+a2）=4（b2+c2-a2）=0，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°．
∵
| 3 |
∴
| 3 |
∴4b2=a2，
∴a=2b．
∵S=π×（
| a |
| 2 |
∴a=16，b=8，c=8| 3 |
（2）在Rt△ABC中，∵∠A=90°，a=16，b=8，c=8
| 3 |
∴∠B=30°，∠C=60°．
在Rt△BPQ中，∵∠BPQ=90°，BP=
| 3 |
∴PQ=BP•tan30°=x．
分五种情况：
①当0≤x≤
| 8 |
| 3 |
②当
| 8 |
| 3 |
∵HJ=PHsin60°=
| ||
| 2 |
∴HI=HJ+BP-BD=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
∴GI=
| 3 |
| 2 |
∴S=S正△FGH=
| ||
| 4 |
③当4＜x≤
| 16 |
| 3 |
∵PQ=x，PM=DE=
| 1 |
| 2 |
∴MQ=PQ-PM=x-4，
∴MN=
| 3 |
| 3 |
∴S=S△PQH-S△MNQ=
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 3 |
④当
| 16 |
| 3 |
∵BP=
| 3 |
∴AP=AB-BP=8
| 3 |
| 3 |
∴S矩形APMF=PM•AP=4（8
| 3 |
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∵AK=
| ||
| 3 |
∴S△PAK=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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| ||
| 2 |
∵MN=| 3 |
| 3 |
∴NF=MF-MN=（8
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| 3 |
| 3 |
∴LF=
| ||
| 3 |
∴S△NLF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF
=4（8
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| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=-
5
| ||
| 2 |
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⑤当6＜x≤8时，如图5，
S=S矩形APMF-S△PAK=4（8
| 3 |
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| ||
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| ||
| 2 |
| 3 |
（3）在（2）的情况下，当x=4
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S=-
| ||
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| 3 |
| 3 |
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点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，勾股定理的逆定理，正弦定理，三角形外接圆的性质，解直角三角形，等边三角形、矩形的性质，图形的面积，综合性较强，难度较大．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．
练习册系列答案
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