Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D点，且BD交AC于E点，问当BD满足什么条件时，CD=

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BE？并证明你的判断．

Answer 1

分析：延长BA和CD交于F，求出∠ABE=∠FCA，根据ASA证△ABE≌△ACF，求出BE=CF，证△FBD≌△CBD，推出CD=DF即可．

解答：解：当BD是∠ABC的平分线时，CD=

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BE，
理由是：延长BA和CD交于F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠FAC=90°=∠BDC，
∵∠AEB=∠DEC，
根据三角形的内角和定理得：∠ABE=∠FCA，
在△ABE和△ACF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠FDB=∠CDB，
在△FDB和△CDB中

∠FBD=∠CBD BD=BD ∠FDB=∠CDB

，
∴△FDB≌△CDB，
∴CD=DF=

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CF=

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BE，
即当BD是∠ABC的平分线时，CD=

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BE．

点评：本题考查了对等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后构造全等的三角形，通过做此题培养了学生的阅读问题和分析问题的能力，题型较好．