Question

提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5 cm，AC=6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小华不会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故不会成功；
（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．②若直线不过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况不存在．则符合条件的直线共有三条．
解答：解：（1）作线段AC的中垂线BD即可．（2分）
（2）小华不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积
那么S_△ADC=S_△DBC
∴AD•CE=BD•CE
∴BD=AD（4）
∵AC≠BC
∴AD+AC≠BD+BC
∴小华不会成功．（5分）

（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．（6分）
②若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示

过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G
易求，BG=4，AG=CG=3
设CF=x，则CE=8-x
由△CEH∽△CBG，可得EH=
根据面积相等，可得（7分）
∴x=3（舍去，即为①）或x=5
∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．（8分）
（b）直线与AB、AC分别交于M、N，如图所示，

由（a）可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．
（仿照上面给分）
（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示

过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得，AY=，
设BP=x，则BQ=8-x，
由相似，可得PX=，
根据面积相等，可得（11分），
∴（舍去）或．
而当BP=时，BQ=，舍去．
∴此种情况不存在．（12分）
综上所述，符合条件的直线共有三条．
（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）
点评：此题综合性较强，运用了分类讨论的数学思想．