Question

（本题满分12分）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．

背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角  形的“等分积周线”．

尝试解决：

  （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5 cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

 

 

 

 

Answer 1

 

 

解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可.………………………………………………2分

(2) 小华不会成功．

若直线CD平分△ABC的面积

那么

∴    

 

∴ …………………………………………………………………4分

∵

∴

∴ 小华不会成功．………………………………………………………………5分

（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．……………………6分

    ② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：

（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示

    过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G

易求，BG=4，AG=CG=3

设CF=x，则CE=8-x

由△CEH∽△CBG，可得EH=

根据面积相等，可得……………………………7分

∴ （舍去，即为①）或

∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．……………………………8分

（b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示

          由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．

（仿照上面给分）

(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示

    过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X

由面积法可得， AY=

设BP=x，则BQ=8-x

由相似，可得PX= 

根据面积相等，可得………………………………………11分

∴ （舍去）或

而当BP时，BQ=，舍去．

∴ 此种情况不存在．……………………………………………12分

综上所述，符合条件的直线共有三条．

（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 解析:略