题目内容
（2008•株洲）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S△ABC=S△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：做这类题时要综合二次函数的图象，及等腰三角形的知识．
解答：解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等（满足条件即可）；（1分）
（2）设l2的解析式为y=-x2+bx+c，联立方程组
，
解得：
，则l2的解析式为y=-x2+
x-
．（3分）
点C的坐标为（
）．（4分）
（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=
，BE=1，DE=2，DF=
，FE=
．
得：S△ABC=S梯形ABED-S梯形BCFE-S梯形ACFD=
．（5分）
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=
x-
，则点G的坐标为（0，
），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，
，连接AP、BP，
则S△ABP=S△BPG-S△APG=-
-h，又S△ABC=S△ABP=
，得
，点P的坐标为（0，
）．（6分）
②当点P位于点G的上方时，
，同理
，点P的坐标为（0，
）．
综上所述所求点P的坐标为（0，
）或（0，
）（7分）
（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．（10分）
点评：本题综合考查了二次函数的图象与平移的有关知识．
解答：解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x2+2x-3或y=-x2+4x-5等（满足条件即可）；（1分）
（2）设l2的解析式为y=-x2+bx+c，联立方程组
，解得：
，则l2的解析式为y=-x2+x-．（3分）点C的坐标为（
）．（4分）（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=
，BE=1，DE=2，DF=，FE=．得：S△ABC=S梯形ABED-S梯形BCFE-S梯形ACFD=
．（5分）延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=
x-，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h），①当点P位于点G的下方时，
，连接AP、BP，则S△ABP=S△BPG-S△APG=-
-h，又S△ABC=S△ABP=，得，点P的坐标为（0，）．（6分）②当点P位于点G的上方时，
，同理，点P的坐标为（0，）．综上所述所求点P的坐标为（0，
）或（0，）（7分）（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．（10分）
点评：本题综合考查了二次函数的图象与平移的有关知识．
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