题目内容

【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于M,N.

(1如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是__________________;

(2如图2,若点O正方形的中心(即两对角线的交点,则(1中的结论是否仍然成立?请说明理由

(3如图3,若点O在正方形的内部(含边界,当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形?

(4如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必说理

【答案】(1OM=ON;(2OM=ON仍成立;(3点O在正方形内(含边界移动所形成的图形是对角线AC;(4所形成的图形为直线AC.

【解析】

试题分析:(1根据△OBM与△ODN全等,可以得出OM与ON相等的数量关系;

(2连接AC、BD,则通过判定△BOM≌△CON,可以得到OM=ON;

(3过点O作OE⊥BC,作OF⊥CD,可以通过判定△MOE≌△NOF,得出OE=OF,进而发现点O在∠C的平分线上;

(4可以运用(3中作辅助线的方法,判定三角形全等并得出结论.

试题解析:(1若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是:OM=ON;

(2仍成立.

证明:如图2,连接AC、BD.

由正方形ABCD可得,∠BOC=90°,BO=CO,∠OBM=∠OCN=45°.∵∠MON=90°∴∠BOM=∠CON在△BOM和△CON中∵∠OBM=OCN,BO=CO,BOM=CON,∴△BOM≌△CON(ASA∴OM=ON

(3如图3,过点O作OE⊥BC,作OF⊥CD,垂足分别为E、F,则∠OEM=∠OFN=90°又∵∠C=90°∠EOF=90°=∠MON∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中∵∠OEM=OFN,MOE=NOF,OM=ON,∴△MOE≌△NOF(AAS∴OE=OF

又∵OE⊥BC,OF⊥CD∴点O在∠C的平分线上∴O在移动过程中可形成线段AC

(4O在移动过程中可形成直线AC.

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