题目内容
【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.
(1)如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是__________________;
(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线的交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形?
(4)如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必说理)
【答案】(1)OM=ON;(2)OM=ON仍成立;(3)点O在正方形内(含边界)移动所形成的图形是对角线AC;(4)所形成的图形为直线AC.
【解析】
试题分析:(1)根据△OBM与△ODN全等,可以得出OM与ON相等的数量关系;
(2)连接AC、BD,则通过判定△BOM≌△CON,可以得到OM=ON;
(3)过点O作OE⊥BC,作OF⊥CD,可以通过判定△MOE≌△NOF,得出OE=OF,进而发现点O在∠C的平分线上;
(4)可以运用(3)中作辅助线的方法,判定三角形全等并得出结论.
试题解析:(1)若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是:OM=ON;
(2)仍成立.
证明:如图2,连接AC、BD.
由正方形ABCD可得,∠BOC=90°,BO=CO,∠OBM=∠OCN=45°.∵∠MON=90°,∴∠BOM=∠CON,在△BOM和△CON中,∵∠OBM=∠OCN,BO=CO,∠BOM=∠CON,∴△BOM≌△CON(ASA),∴OM=ON;
(3)如图3,过点O作OE⊥BC,作OF⊥CD,垂足分别为E、F,则∠OEM=∠OFN=90°.又∵∠C=90°,∴∠EOF=90°=∠MON,∴∠MOE=∠NOF.
在△MOE和△NOF中,∵∠OEM=∠OFN,∠MOE=∠NOF,OM=ON,∴△MOE≌△NOF(AAS),∴OE=OF.
又∵OE⊥BC,OF⊥CD,∴点O在∠C的平分线上,∴O在移动过程中可形成线段AC;
(4)O在移动过程中可形成直线AC.