题目内容
【题目】定义:数学活动课上,乐老师给出如下定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形.
理解:(1)如图1,已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上,请在方格图中画出以格点为顶点,AB、BC为边的两个对等四边形ABCD;
(2)如图2,在圆内接四边形ABCD中,AB是⊙O的直径,AC=BD.求证:四边形ABCD是对等四边形;
(3)如图3,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC=,点A在BP边上,且AB=13.用圆规在PC上找到符合条件的点D,使四边形ABCD为对等四边形,并求出CD的长.
【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析;(3)13、12-或12+.
【解析】
试题分析:(1)根据对等四边形的定义,进行画图即可;
(2)连接AC,BD,证明Rt△ADB≌Rt△ACB,得到AD=BC,又AB是⊙O的直径,所以AB≠CD,即可解答;
(3)根据对等四边形的定义,分两种情况:①若CD=AB,此时点D在D1的位置,CD1=AB=13;②若AD=BC=11,此时点D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11;利用勾股定理和矩形的性质,求出相关相关线段的长度,即可解答.
试题解析:(1)如图1所示(画2个即可).
(2)如图2,连接AC,BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
在Rt△ADB和Rt△ACB中,
∴Rt△ADB≌Rt△ACB,
∴AD=BC,
又∵AB是⊙O的直径,
∴AB≠CD,
∴四边形ABCD是对等四边形.
(3)如图3,点D的位置如图所示:
①若CD=AB,此时点D在D1的位置,CD1=AB=13;
②若AD=BC=11,此时点D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11,
过点A分别作AE⊥BC,AF⊥PC,垂足为E,F,
设BE=x,
∵tan∠PBC=,
∴AE=x,
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,
即x2+(x)2=132,
解得:x1=5,x2-5(舍去),
∴BE=5,AE=12,
∴CE=BC-BE=6,
由四边形AECF为矩形,可得AF=CE=6,CF=AE=12,
在Rt△AFD2中,FD2=,
∴CD2=CF-FD2=12-,CD3=CF+FD2=12+,
综上所述,CD的长度为13、12-或12+.