题目内容
【题目】如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
【答案】(1)y=x2-x+4;(2)点C和点D在所求抛物线上;(3)点M的坐标为(,).
【解析】
试题分析:(1)已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)首先求出AB的长,将A、B的坐标向右平移AB个单位,即可得出C、D的坐标,再代入抛物线的解析式中进行验证即可.
(3)根据C、D的坐标,易求得直线CD的解析式;那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差,可将x=t代入两个函数的解析式中,得出的两函数值的差即为l的表达式,由此可求出l、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出l取最大值时,点M的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的顶点在直线x=上,
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y= (x-)2+m
∵点B(0,4)在此抛物线上,
∴4=×(-)2+m
∴m=-
∴所求函数关系式为:y= (x-)2-=x2-x+4
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∴AB==5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0);
当x=5时,y=×52-×5+4=4
当x=2时,y=×22-×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上;
(3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′,
则;
解得:;
∴y=x-
∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,
∴N点的横坐标也为t;
则yM=t2-t+4,yN=t-,
∴l=yN-yM=t--(t2-t+4)=-t2+t-=- (t-)2+
∵-<0,
∴当t=时,l最大=,yM=t2-t+4=.
此时点M的坐标为(,).