题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x-与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在x轴正半轴上,且OC=3AO,过点A作BC的平行线l.
(1)求直线BC的解析式;
(2)作点A关于BC的对称点D,一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M,再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N,再沿某一路径运动到D点,求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标;
(3)如图2,将△AOB绕点B旋转,使得A′O′⊥BC,得到△A′O′B,将△A′O′B沿直线BC平移得到△A″O″B′,连接A″、B″、C,是否存在点A″,使得△A″B′C为等腰三角形?若存在,请直接写出点A″的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=x-;(2) 2, N(,-);(3)见解析.
【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)如图2中,作点C关于直线AF的对称点C′,连接CC′交AF于点F,连接DF交BC于N,作NE⊥AF于E,连接EC,则此时CE+EN+DN的值最小,最小值=线段DF的长;
(3)分四种情形分别画出图形求解即可.
(1)∵直线y=-x-与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A(-1,0),B(0,-),
∵OC=3OA,
∴OC=3,
∴C(3,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴直线BC的解析式为y=x-;
(2)如图2中,作点C关于直线AF的对称点C′,连接CC′交AF于点F,连接DF交BC于N,作NE⊥AF于E,连接EC,则此时CE+EN+DN的值最小,最小值=线段DF的长.
由题意D(1,-2),
∵直线CF的解析式为y=x+,直线CF的解析式为y=-x+3,
由,解得,
∴F(2,),
∴DF==2,
∴点P的路径的最小值为2,
∵直线DF的解析式为y=3x-5,
由,解得,
∴N(,-);
(3)由题意,BO′=BO=,AB=BA′=2,OA=O′A′=1,点O′向下平移个单位,向右平移单位得到A′,
①如图3中,当CB′=B′A″=2时,此时O″(,-),可得A″(2-,-1-).
②如图4中,当CB′=CA″时,设CB′=CA″=x,则有x2=12+(-x)2,
可得x=,此时O″(,-),可得A″(3,-).
③当B′C=B′A″=2时,O″(,),可得A″(2+,1-)
④当CA″=B′A″=2时,O″(,),可得A″(5,0).
综上所述,满足条件的点A″的坐标为(2-,-1-)或(3,-)或(2+,1-)或(5,0).