题目内容
【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=16cm，CD=10cm，AD=5cm DE⊥AB，垂足为E，点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/秒的速度沿CD向终点D运动（P，Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P，Q同时出发并运动了t秒．
（1）当四边形EPQD为矩形时，求t的值．
（2）当以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）探索：是否存在这样的t值，使三角形PDQ是以PD为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=
；（2）t=1或t=3；（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）首先过点C作CF⊥AB于点F，可得AE=BF=3cm，由AB∥CD，∠DEF=90°，可得当EP=DQ时，四边形EPQD为矩形，即可得方程：2t﹣3=10﹣t，解此方程即可求得答案；
（2）由AB∥CD，可得当AP=CQ时，以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，然后分别从当P在AE左侧时与当P在AE右侧时去分析求解即可求得答案；
（3）首先由勾股定理表示出PD2，DQ2，PQ2，然后分别从PD=DQ或PD=PQ去分析求解即可求得答案．
解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，
∵在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，
∴DE=CF，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）；
∴BF=AE，
∵AB=16cm，CD=10cm，
∴AE=BF=3cm，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=tcm，
∴EP=AP﹣AE=2t﹣3（cm），DQ=CD﹣CQ=10﹣t（cm），
∵AB∥CD，∠DEF=90°，
∴当EP=DQ时，四边形EPQD为矩形，
∴2t﹣3=10﹣t，
解得：t=，
∴当四边形EPQD为矩形时，t=；
（2）∵AB∥CD，
∴当AP=CQ时，以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，
当P在AE左侧时，EP=AE﹣AP=3﹣2t（cm），
此时3﹣2t=t，解得：t=1，
当P在AE右侧时，EP=AP﹣AE=2t﹣3（cm），
此时2t﹣3=t，解得：t=3，
∴当以点E、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t=1或t=3；
（3）存在．
理由：在Rt△ADE中，AE=3，AD=5，
∴DE=
=4，
∴PD2=PE2+DE2=（2t﹣3）2+42=4t2﹣12t+25，DQ2=（10﹣t）2=t2﹣20t+100，
过点Q作QM⊥AB于点M，则BM=BF+FM=3+t，
∴PM=AB﹣AP﹣BM=13﹣3t（cm），
∴PQ2=QM2+PM2=（13﹣3t）2+42=9t2﹣78t+185，
若PD=DQ，则4t2﹣12t+25=t2﹣20t+100，
解得：t=
（负值舍去）；
若PD=PQ，则4t2﹣12t+25=9t2﹣78t+185，
解得：t1=
，t2=10（舍去），
综上可得：t=或t=
．
