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(2013•株洲)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD交于点O,过点O的直线EF交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)若∠EOD=30°,求CE的长.
分析:(1)根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO,对边平行可得AD∥BC,再利用两直线平行,内错角相等可得∠OAE=∠OCF,然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等;
(2)根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°,然后求出∠AEF=90°,然后求出AO的长,再求出EF的长,然后在Rt△CEF中,利用勾股定理列式计算即可得解.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,
∠OAE=∠OCF
AO=CO
∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF(ASA);

(2)解:∵∠BAD=60°,
∴∠DAO=
1
2
∠BAD=
1
2
×60°=30°,
∵∠EOD=30°,
∴∠AOE=90°-30°=60°,
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°,
∵菱形的边长为2,∠DAO=30°,
∴OD=
1
2
AD=
1
2
×2=1,
∴AO=
AD2-OD2
=
22-12
=
3

∴AE=CF=
3
×
3
2
=
3
2

∵菱形的边长为2,∠BAD=60°,
∴高EF=2×
3
2
=
3

在Rt△CEF中,CE=
EF2+CF2
=
(
3
2
)
2
+(
3
)
2
=
21
2
点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,(2)求出△CEF是直角三角形是解题的关键,也是难点.
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