题目内容

观察下列一组等式，
5
2
+
5
3
=
5
2
×
5
3
，
7
3
+
7
4
=
7
3
×
7
4
，
9
2
+
9
7
=
9
2
×
9
7
…根据等式的特点用在字母表示其规律为
．
分析：首先观察等式的右边，发现：左边的两个分数的分子相同，且正好是两个分母的和；观察等式的右边，发现：右边正好是左边两个加数相乘．即
a+b
a
+
a+b
b
=
a+b
a
×
a+b
b
（a、b均为正整数）．
解答：解：
a+b
a
+
a+b
b
=
a+b
a
×
a+b
b
（a、b均为正整数）．
点评：找等式的规律时，既要分别看两边的规律，还要注意两边之间的联系；找分式的规律时，既要分别看分子和分母，又要注意两者之间的联系．
练习册系列答案
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（2012•安庆二模）观察下列一组等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…．
解答下列问题：
（1）对于任意的正整数n：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
【证】
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=
2011
2012
2011
2012
．
【解】
（3）已知m为正整数化简：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2m-1)(2m+1)
=
m
2m+1
m
2m+1
．
观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
(
2
+1)(
2
-1)=1，(
3
+
2
)(
3
-
2
)=1，(
4
+
3
)(
4
-
3
)=1，(
5
+
4
)(
5
-
4
)=1，…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2012
+
2011
)•(
2012
+1)
（2）利用上面的规律，试比较
11
-
10
与
12
-
11
的大小．
观察下列一组等式蕴含的规律：
12+3×1+2=2×3，22+3×2+2=3×4，32+3×3+2=4×5，…，
请用含字母n的等式表示上述规律，并证明这个结论．
观察下列一组等式：
(a+1)(a2-a+1)=a3+1
(a-2)(a2+2a+4)=a3-8
(a+3)(a2-3a+9)=a3+27

（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
①（x-3）（x2+3x+9）=
x3-27
x3-27
；
②（2x+1）（
4x2-2x+1
4x2-2x+1
）=8x3+1；
③（
x-y
x-y
）（x2+xy+y2）=x3-y3．
（2）计算：（a2-b2）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）．

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