Question

（2012•长宁区二模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，垂足为点O，过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：△BDE是等腰直角三角形；
（2）已知sin∠CDE=

5

5

，求AD：BE的值．

Answer 1

分析：（1）推出平行四边形ACED，根据等腰梯形性质得出AC=DE=BD，得出等腰三角形，根据平行线性质求出∠BOC=∠BDE=90°，即可得出答案；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出

AC

OC

=

BD

OB

，根据等腰三角形性质得出AC=BD，推出OC=OB，OA=OD，根据平行线得出sin∠CDE=sin∠DCO=

5

5

，在Rt△DCO中，设OD=k，DC=

5

k 求出OC=2k，平行四边形的性质求出AD=CE，求出

OD

OB

=

1

2

，求出

AD

BC

的值．即可求出答案．

解答：（1）证明：∵AD∥BE，BE∥AC，
∴ACED是平行四边形，
∴AC=DE，
∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴BD=DE     
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵AC∥DE，
∴∠BOC=∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．

（2）解：∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

=

AD

BC

，
∴

AC

OC

=

BD

OB

∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴OC=OB，OA=OD，
∵DE∥AC，
∴∠CDE=∠DCO，
∴sin∠CDE=sin∠DCO=

5

5

，
在Rt△DCO中，设OD=k，DC=

5

k （k＞0），则OC=

DC2-OD2

=2k，
∵平行四边形ACDE，
∴AD=CE，
∴

OD

OB

=

OD

OC

=

1

2

，
∴

AD

BC

=

1

2

，
∴

AD

BE

=

1

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理、解直角三角形等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．