Question

如图所示，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相 交于P点。
（1）求证：PA·PB=PC·PD；
（2）设BC中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的长。

Answer 1

解：（1） ∵∠A、∠C所对的圆弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴PA·PB=PC·PD；
（2）∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，
∴FP=FC，
∴∠C=∠CPF，
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， 由垂径定理，
∴OM²=（2）²-4²=4，ON2=（2）²-3²=11，
又易证四边形MONP是矩形MONP矩形，
∴OP=。