题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201304/44/4c73d715.png)
求证:(1)∠DAP=∠BAC;
(2)△PAC∽△DAB;
(3)PM2-PA2=AC•AD.
分析:(1)连接AC,证△DAP∽△BAC,即可推出∠DAP=∠BAC;
(2)推出∠PAC=∠BAD和∠ACP=∠DBA根据相似三角形的判定推出△PAC∽△DAB即可;
(3)根据相似得出
=
,推出PA•AB=AC•AD,推出PA•PB-PA2=AC•AD,根据切割线定理得出PM2=PA•PB,代入即可求出答案.
(2)推出∠PAC=∠BAD和∠ACP=∠DBA根据相似三角形的判定推出△PAC∽△DAB即可;
(3)根据相似得出
PA |
AC |
AD |
AB |
解答:证明:(1)连接AC,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201304/49/7a911316.png)
∵AB•PD=BC•AD,
∴
=
,
又∵∠PDA=∠PBC,
∴△DAP∽△BAC,
∴∠DAP=∠BAC;
(2)由(1)∠DAP=∠BAC.
又∵∠PAC=∠PAD-∠CAD.
∠BAD=∠BAC-∠CAD.
∴∠PAC=∠BAD,
而四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ACP=∠DBA.
∴△PAC∽△DAB;
(3)由(2)△PAC∽△DAB,
∴
=
,
∴PA•AB=AC•AD
又AB=PB-PA,
∴PA•AB=PA(PB-PA)=AC•AD,
即PA•PB-PA2=AC•AD,
又PM为⊙O的切线,PAB为⊙O的割线.
∴PM2=PA•PB,
∴PM2-PA2=AC•AD.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201304/49/7a911316.png)
∵AB•PD=BC•AD,
∴
AB |
BC |
AD |
PD |
又∵∠PDA=∠PBC,
∴△DAP∽△BAC,
∴∠DAP=∠BAC;
(2)由(1)∠DAP=∠BAC.
又∵∠PAC=∠PAD-∠CAD.
∠BAD=∠BAC-∠CAD.
∴∠PAC=∠BAD,
而四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ACP=∠DBA.
∴△PAC∽△DAB;
(3)由(2)△PAC∽△DAB,
∴
PA |
AC |
AD |
AB |
∴PA•AB=AC•AD
又AB=PB-PA,
∴PA•AB=PA(PB-PA)=AC•AD,
即PA•PB-PA2=AC•AD,
又PM为⊙O的切线,PAB为⊙O的割线.
∴PM2=PA•PB,
∴PM2-PA2=AC•AD.
点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,切割线定理,圆周角定理等知识点的应用,主要考查学生的推理能力,综合性比较强,有一定的难度.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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