Question

如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状．
（3）求∠BDC的度数．
（4）若BC=

3

，求直角三角尺ABC旋转扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）三角尺旋转的角度即为∠ABE的度数，而∠ABE和三角尺的30°角互为补角，由此可求出旋转的度数；
（2）由旋转的性质知：BC=BD，由此可得出△BCD的形状；
（3）已知了等腰△BCD顶角的度数，可根据三角形内角和定理求出底角∠BDC的度数；
（4）直角三角尺ABC旋转扫过的面积即为扇形BAE的面积，圆心角∠ABE的度数已经求得，而半径AB的长可在Rt△ABC中由勾股定理求得，进而可根据扇形的面积公式得出结果．

解答：解：（1）依题意，得∵∠ABC=30°
∴∠DBE=30°
∴∠ABE=180°-30°=150°，即旋转了150°（3分）

（2）根据旋转的性质知，CB=BD，故△CBD为等腰三角形．（6分）

（3）∵BD=CB，∴∠DCB=∠BDC
又∵∠DBE=∠ABC=30°，∠DBE=∠DCB+∠BDC
故∠BDC=

1

2

∠DBE=15°（9分）

（4）由题意，设AC=x，则AB=2x，
由勾股定理可得x=1，AB=2；
且∠ABE=150°，
所以直角三角尺ABC旋转得到的面积为

150π×22

360

=

5π

3

（平方单位）．（12分）

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、旋转的性质、扇形面积的计算方法等知识点．